Aljabar dan Perkembangannya

Sejarah aljabar mulai di Mesir kuno dan Babilonia , di mana orang belajar untuk memecahkan linear (ax = b) dan kuadrat (ax ² + bx = c) persamaan, dan persamaan yang tak tentu seperti x ² + y ² = z ^2, dimana diketahui beberapa yang terlibat. Orang-orang Babel kuno terpecahkan sewenang-wenang persamaan kuadrat dengan dasarnya prosedur yang sama diajarkan hari ini. Mereka juga bisa memecahkan beberapa persamaan tak tentu. The Alexandria matematikawan Hero dari Alexandria dan Diophantus melanjutkan tradisi Mesir dan Babel, tetapi Diophantus ‘s buku Arithmetica berada pada tingkat yang jauh lebih tinggi dan memberikan solusi mengejutkan banyak persamaan tak tentu sulit. Pengetahuan kuno solusi dari persamaan pada gilirannya menemukan rumah awal di dunia Islam, di mana ia dikenal sebagai “ilmu restorasi dan balancing.” (Kata Arab untuk restorasi, al-jabru, adalah akar dari aljabar kata.) Dalam abad ke-9, matematikawan Arab al-Khwarizmi menulis satu dari algebras Arab pertama, uraian sistematis dari teori dasar persamaan, dengan kedua contoh dan bukti. Pada akhir abad 9, ahli matematika Mesir Abu Kamil telah menyatakan dan membuktikan hukum dasar dan identitas dari aljabar dan memecahkan masalah rumit seperti menemukan x, y, dan z sehingga x + y + z = 10, x ² + y ² = z ^2, dan xz = y ^2.

Peradaban kuno menuliskan ekspresi aljabar dengan hanya menggunakan singkatan sesekali, tetapi oleh ahli matematika abad pertengahan Islam mampu berbicara tentang kekuasaan sewenang-wenang tinggi dari x tidakdiketahui, dan bekerja di luar aljabar dasar polinomial (tanpa belum menggunakan simbolisme modern). Ini termasuk kemampuan untuk mengalikan, membagi, dan menemukan akar kuadrat dari polinomial serta pengetahuan dari teorema binomial. Matematikawan Persia, astronom, dan penyair Omar Khayyam menunjukkan bagaimana mengekspresikan akar persamaan kubik dengan segmen garis diperoleh berpotongan bagian berbentuk kerucut , tetapi ia tidak dapat menemukan formula untuk akar. Sebuah terjemahan Latin dari Aljabar Al-Khwarizmi muncul di abad ke-12. Pada abad ke-13 awal, Italia besar matematika Leonardo Fibonacci mencapai pendekatan yang dekat dengan solusi dari persamaan kubik x ³ + 2 x ² + cx = d. Karena Fibonacci telah melakukan perjalanan di wilayah Islam, ia mungkin digunakan metode Arab dari aproksimasi.

Pada awal abad ke-16, matematikawan Italia Scipione del Ferro , Niccolò Tartaglia , dan Gerolamo Cardanomemecahkan persamaan kubik umum dalam hal konstanta muncul dalam persamaan. Murid Cardano itu, Ludovico Ferrari, segera menemukan solusi yang tepat untuk persamaan derajat keempat (lihat persamaan quartic ), dan sebagai hasilnya, matematikawan untuk beberapa abad berikutnya berusaha mencari formula untuk akar persamaan derajat lima, atau lebih tinggi . Pada awal abad ke-19, bagaimanapun, matematikawan Norwegia Niels Abel dan matematikawan Perancis Evariste Galois membuktikan bahwa ada rumus seperti itu tidak ada.

Sebuah perkembangan penting dalam aljabar pada abad 16 adalah pengenalan simbol untuk diketahui dan untuk kekuatan aljabar dan operasi. Sebagai hasil dari perkembangan ini, Buku III dari La géométrie (1637), yang ditulis oleh filsuf Perancis dan matematikawan Rene Descartes , terlihat seperti sebuah teks aljabar modern. Kontribusi Descartes yang paling signifikan untuk matematika, bagaimanapun, adalah penemuan analisis geometri , yang mengurangi solusi dari masalah geometri untuk solusi yang aljabar. Teks geometri Nya juga terkandung esensi kursus pada teori persamaan , termasuk apa yang disebut pemerintahannya tanda-tanda untuk menghitung jumlah apa Descartes disebut akar “benar” (positif) dan “palsu” (negatif) dari suatu persamaan . Bekerja terus berlanjut sampai abad ke-18 pada teori persamaan, tetapi tidak sampai 1799 adalah bukti diterbitkan, oleh matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss , menunjukkan bahwa setiap persamaan polinomial memiliki setidaknya satu akar dalam bidang kompleks (lihat Nomor: Bilangan Kompleks ) .

Pada saat Gauss, aljabar telah memasuki fase modern. Perhatian bergeser dari memecahkan persamaan polinomialuntuk mempelajari struktur dari sistem matematika abstrak yang aksioma didasarkan pada perilaku objek matematika, seperti bilangan kompleks , yang hebat matematika yang dihadapi ketika mempelajari persamaan polinomial. Dua contoh dari sistem tersebut adalah kelompok aljabar (lihat Group) dan quaternions , yang berbagi beberapa dari sifat-sifat sistem bilangan tetapi juga meninggalkan mereka dalam cara yang penting. Grup dimulai sebagai sistem permutasi dan kombinasi dari akar polinomial, tetapi mereka menjadi salah satu konsep pemersatu kepala abad ke-19 matematika. Kontribusi penting untuk studi mereka dibuat oleh Galois matematikawan Perancis dan Augustin Cauchy , matematikawan Inggris Arthur Cayley, dan matematikawan Norwegia Niels Abel dan Sophus Lie. Quaternionsditemukan oleh matematikawan dan astronom Inggris William Rowan Hamilton , yang memperpanjang aritmatika kompleks nomor ke quaternions sementara bilangan kompleks adalah dari bentuk a + bi, quaternions adalah dari bentuk a + bi + cj + dk.

Segera setelah penemuan Hamilton, matematikawan Jerman Hermann Grassmann mulai menyelidiki vektor. Meskipun karakter abstrak, Amerika fisikawan JW Gibbs diakui dalam aljabar vektor sistem utilitas besar bagi fisikawan, seperti Hamilton mengakui kegunaan quaternions. Pengaruh luas dari pendekatan abstrak dipimpin George Boole untuk menulis Hukum Pemikiran (1854), pengobatan aljabar dasar logika . Sejak saat itu, aljabar-juga modern disebut aljabar abstrak -terus berkembang. Hasil baru yang penting telah ditemukan, dan subjek telah menemukan aplikasi di semua cabang matematika dan dalam banyak ilmu juga. AA