Diferensial merupakan
salah satu topic dalam matematika yang keberadaannya sangat dibutuhkan oleh
ilmu – ilmu lain. Dalam hal ini, sering kali untuk menyelesaikan masalah –
masalah fisika, kimia, teknik, ekonomi, dan lain – lain, dibutuhkan teknik
perhitungan persamaan diferensial. Diferensial berkenaan
dengan penentuan tingkat perubahan (the rate of change) dari suatu fungsi.
Tingkat perubahan dan setiap variable sembarang mungkin bisa diekspresikan sebagai
suatu fungsi dan tingkat perubahan atau nilai dari variable lain. Pada dasarnya
diiferensial memecahkan / menguraikan suatu fungsi menjadi bagian – bagian atau
potongan – potongan yang sangat kecil dan menganalisisnya pada suatu waktu
tertentu untuk suatu nilai tertentu variable bebas.
Analisis dalam bisnis
dn ekonomi sering kali berkenaan dengan perubahan (change), maka jelaslah bahwa
diferensial merupakan alat yang sangat bermanfaat untuk memecahkan persoalan –
persoalan yang menyangkut perubahan, khusunya mengenai pertumbuhan (growth).
Sebagai contoh : di dalam ekonomi dianggap bahwa tingkat harga yang mendekati
nilai ekuilibrium tergantung pada besarnya diskrepansi antara jumlah yang
ditawarkan dan diminta.
Diferensial juga
merupakan metode untuk keadaan disaat maksimum dan minimum suatu fungsi diperoleh.
Jadi, dengan demikian persoalan untuk memaksimalkan laba / keuntungan (maximum
profit) dan meminimumkan biaya (minimum cost) berdasarkan berbagai asumsi dapat
dipecahkan dengan menggunakan diferensial.
Konsep
Turunan
Konsep turunan awalnya dikembangkan
dalam bidang matematika dan fisika, seperti itngkat perubahan dari suatu
fungsi, atau kecepatan suatu benda yang bergerak. Akan tetapi, dewasa ini
penerapannya berkembang ke bidang lain seperti ilmu ekonomi :
Untuk menghitung
kecepatan rata – rata dengan rumus :
Kecepatan rata – rata = 
Kecepatan benda setiap
saat selalau berubah, untuk itu kita gunakan konsep turunan agar dapat
menghitung beberapa kecepatan rata – rata benda tersebut pada selang waktu
tertentu.
Turunan
Fungsi Aljabar
Dalam kehidupans ehari
– hari kita banyak mengenal kata laju perubahan, seperti pada tanaman,
pertumbuhan anak, pertumbuhan penduduk, laju inflasi dan masih banyak lagi.
Secara matematis rumus laju perubahan nilai suatu fungsi di x = a dinotasikan
dengan f’(x) yang didefinisikan sebagai :
F’(x) = 
Bentuk limit di atas
disebut dengan derivative atau turunan pertama fungsi f(s) dan ditulis f’(x).
proses mencari derivative disebut dengan diferensial.
Jika kita ingin
menentukan laju perubahan fungsi f untuk beberapa nilai x, seperti x =a. x-b, x
– c dan seterusnya, akan terlalu lama jika kita cari f’(a), f’(b),f’(c) satu
per satu. Cara yang paling efektif adalah dengan menentukan fungsi turunan
terlebih dahulu, baru kemudian kita substitusikan nilai – nilai x tersebut pada
fungsi turunan yang telah ditentukan.
Rumus turunan pertama
suatu energi
Rumus – rumus yang akan
disajikan dibawah ini terdefinisi, jika derivative, masing – masing fungsi ada
(diferensiabel) pada domain fungsi tersebut.
Rumus 1 : turunan pertama H(x) = f(x) +
g(x).
Jika H(x) = f(x) +
g(x), f dan g fungsi yang diferensial di x, maka turunan pertama fungsi H(x)
adalah
H’(x)
= f’(x) + g’(x)
Rumus 2 : turunan pertama H(x) = f(x).
g(x)
Jika H(x) = f(x) +
g(x), f dan g fungsi yang diferensial di x, maka turunan pertama fungsi H(x)
adalah
H’(x)
= f(x) . g’(x) + g(x) . f’(x)
Rumus 3 : turunan pertama H(x) =
Jika H(x) = , f dan g fungsi yang
diferensial di x serta g(x) = 0 untuk setiap x , maka turunan pertama fungsi
H(x) adalah
H(x)
=
Rumus 4 : turunan pertama H(x) = [f(x)]n
Jadi
H(x) = [f(x)]n dan f fungsi yang diferensiabel di x, maka
H’ (x) = n = [f(x)]n-1. F’(x)
.png)
0 Comments